Equation aux classes

Equation

L'ensemble des classes d'équivalences forme une partition de $X$ : $$X=\bigsqcup_{C\in X/\mathcal R}C$$
En particulier, si $X$ est fini, on a l'équation aux classes : $${{\

X}}={{\sum_{C\in X/\mathcal R}\# C}}$$

$\longrightarrow$ Théorème de Lagrange

Cas fini

Équation aux classes :
On suppose $G,X$ finis
$${{\

X}}={{\sum_{\bar x\in G\setminus X}\# G/\# G_x}}$$

On a : $$G={{\bigsqcup_{C_x\in G/\mathcal R}C_x}} }}$$
équation aux classes
Soit $G$ un groupe fini et soit $R$ un système de représentants des orbites
$${{\

G}}={{\sum_{g\in R}\#\omega(g) }}$$

(Orbite)

Conséquences

Conséquence de l'équation aux classes :
Soit $G$ un groupe fini et $R$ un système de représentants de $G$
$${{\

G}}={{\# Z(G)+\sum_{g\in R\setminus Z(G)}\# G/\#\operatorname{Stab}(g)}}$$

(Stabilisateur)

Math'φsics